LCOMP-MAT1113

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VIRTUNIVERSIDAD GLOBAL
FACULTAD DE: Ciencias Técnicas y Tecnológicas
CUATRIMESTRE: Tercero
   
CÓDIGO DENOMINACIÓN DE LA ASIGNATURA:  Analísis Matemático III "CURSO" O"MÓDULO"
HORAS TEÓRICAS HORAS PRÁCTICAS TOTAL HORAS
 CUATRIMESTRE
TOTAL HORAS SEMANALES UNIDADES DE
 CRÉDITO
(HT) (HP) HT HP HT HP (UC)
 LCOMP-MAT1113  54 -
54
-
3,38
-
3
        
BREVE DESCRIPCIÓN DEL CURSO:
La asignatura Análisis Matemático III brinda la oportunidad de que el participante adquiera los conocimientos y destrezas básicas de la comunicación y entendimiento del mundo a través del lenguaje simbólico de las matemáticas.
La asignatura Análisis Matemático III se encuentra ubicada en el tercer cuatrimestre del pensum de estudio de la mencionada carrera y se estructura de tal forma que los estudiantes adquieran un conjunto de conocimientos básicos del cálculo vectorial, la geometría analítica en el espacio y funciones de varias variables reales, que le permiten desarrollar hábitos de razonamientos lógicos con los cuales podrán afrontar con éxitos muchos problemas de aplicación.
El Análisis y el Cálculo vectorial, constituyen un instrumento poderoso en las Ciencias Básicas, lo cual lo hace indispensable en la formación integral del profesional en computación.
La asignatura Análisis Matemático III ha sido diseñada con el objeto de continuar el proceso de formalización del Análisis Matemático I y II constituido por el cálculo diferencial e integral; ya que en estos reside prácticamente la base para desarrollar las unidades que conforman esta asignatura, completando así el análisis de varias variables reales.
Instrumentalmente el Análisis Matemático III proporciona herramientas necesarias para la comprensión de conocimientos posteriores de la carrera, tales como Funciones Vectoriales,  Matemáticas Aplicadas, Probabilidades, Estadística, entre otros.
En cuanto a la vida profesional del futuro Bachelor Profesional en Computación, la asignatura Análisis Matemático III le suministrará las herramientas matemáticas que le permitirán alcanzar madurez en el enfoque de problemas relacionados o no con su profesión; así como también lo ejercitan en las técnicas para analizar, solucionar problemas y tomar decisiones. 
 
OBJETIVO(S) GENERAL(ES):
• Aplicar correcta y eficientemente las técnicas del análisis matemático de varias variable y las ecuaciones diferenciales en la solución de problemas geométricos y físicos.
• Conocimiento de los principales resultados del cálculo diferencial e integral de funciones de variable compleja. Desarrollo de las aplicaciones del cálculo integral en variable compleja y la obtención de la transformada en z. 
 
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
• Lograr que los estudiantes continúen adquiriendo hábitos de razonamiento lógico iniciado en las asignaturas Análisis Matemático I y II.
• Conocer y entender los conceptos de límite y diferenciabilidad de funciones de varias variables.
• Adquirir técnicas avanzadas de integración múltiple, en distintos sistemas de coordenadas.
• Manejar los conceptos básicos del cálculo vectorial.
• Resolver ecuaciones diferenciales.
• Conocer los manejos y extender los conceptos del cálculo de funciones de variables complejas.
• Manejar la definición de la transformada de Laplace y su aplicación a las ecuaciones diferenciales.
• Conocer y aplicar las herramientas del Cálculo Vectorial.  
• Aprender a desarrollar y aplicar las Series de Fourier para su aplicación a problemas prácticos. 
 
DESCRIPCIÓN DE LOS CONTENIDOS (LISTADO DE TEMAS Y SUB-TEMAS)
TEMA 1: Algebra de vectores. 
1.1  Introducción.  
1.2  Definición de un vector en R2, Rn y su Interpretación geométrica.
1.3  Introducción a los campos escalares y vectoriales.   
1.4  La geometría de las operaciones vectoriales.
1.5  Operaciones con vectores y sus propiedades.
1.6  Descomposición vectorial en 3 dimensiones.
1.7  Ecuaciones de rectas y planos.  
1.8  Aplicaciones físicas y geométricas.
1.9  Ejercicios resueltos.
1.10  Ejercicios propuestos. 
 
TEMA 2: Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. 
2.1  Ecuaciones paramétricas.  
        2.1.1  Definición.
2.2  Ecuación paramétrica de la línea recta.
2.3  Curvas planas.
2.4  Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación gráfica.  
2.5  Cálculo con curvas paramétricas.
2.6  Derivada de una función dada paramétricamente.
2.7  Coordenadas polares.
        2.7.1  Áreas y longitudes en coordendas polares.
2.8  Graficación de curvas planas en coordenadas polares.
2.9  Secciones cónicas.
        2.9.1  Secciones cónicas en coordendas polares.   
 
TEMA 3: Vectores y geometría en el espacio. 
3.1  Introducción.
3.2  Sistemas coordenados tridimensionales.
        3.2.1  Coordenadas cartesianas en el espacio.
3.3  Ecuaciones de líneas y planos.  
        3.3.1  Ecuación vectorial, cartesiana y paramétrica de la recta en el espacio.
        3.3.2  Ecuación vectorial y paramétrica del plano.
3.4  Ángulos entre dos planos, plano y recta.
3.5  Producto punto.
3.6  Producto cruz.
3.7  Cálculo de distancias.  
        3.7.1  Distancia de un punto a un plano.
        3.7.2  Distancia de un punto a una recta.
        3.7.3  Distancia entre dos rectas que se cruzan.
3.8  Ecuación cartesiana de la esfera y el cilindro.
3.9  Problemas diversos de geometría analítica en el espacio.
3.10  Superficies cuádraticas.     
3.11  Otros sistemas de coordenadas en el espacio.
3.12  Coordenadas cilindrícas y esféricas. 
 
TEMA 4: Funciones vectoriales de una variable real. 
4.1  Definición de función vectorial de una variable real.
4.2  Funciones vectoriales y curvas en el espacio.
        4.2.1  Graficación de curvas en función del parámetro t.
4.3  Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades.
        4.3.1  Derivadas de funciones vectoriales.
        4.3.2  Límite y continuidad de funciones vectoriales de un escalar.
        4.3.3  Derivadas y propiedades.
4.4  Integración de funciones vectoriales.
        4.4.1  Integrales de funciones vectoriales.
        4.4.2  Propiedades de las integrales de funciones vectoriales.
4.5  Longitud de arco y curva.
        4.5.1  Longitud de arco.
        4.5.2  Curvatura.
4.6  Vector tangente, normal y binormal.
4.7  Movimiento en el espacio.
        4.7.1  Curvas.
        4.7.2  Movimiento en el espacio y ecuaciones paramétricas.
4.8  Curvatura normal y tangencial de la aceleración.
        4.8.1  Curvatura y vector normal.
        4.8.2  Posición.
        4.8.3  Velocidad.
        4.8.4  Aceleración.
4.9  Problemas resueltos.
4.10  Problemas propuestos. 
 
TEMA 5: Funciones de varias variables y Derivadas parciales. 

5.1  Introducción.
5.2  Nociones de topología en Rn.
        5.2.1  El espacio normado de Rn.
        5.2.2  El espacio euclideo de Rn.
        5.2.3  El espacio métrico de Rn.
        5.2.4  Convergencia.
        5.2.5  Conexión.
        5.2.6  Compacidad.
5.3  Funciones reales de una y más variables reales.
        5.3.1  Definición de funciones de dos variables.
        5.3.2  Definición de funciones de varias variables.
        5.3.3  Dominio, rango y curvas de nivel.
        5.3.4  Límite y continuidad.
        5.3.5  Elementos de la geometría en el plano y el espacio.
        5.3.6  Trazado de gráficos de funciones reales de dos variables reales.
        5.3.7  Críterio o evaluación de una función de dos variables.
        5.3.8  Forma práctica de derivar funciones de varias variables.
5.4  Derivadas parciales.
        5.4.1  Concepto de derivada parcial.
        5.4.2  Interpretación geométrica y definición de derivada parcial de dos variables.
                   5.4.2.1  Definición de la derivada parcial de la función z = f(x,y) respecto de x, a  
                                través de la proyección del plano a sobre el plano (z,x).
                   5.4.2.2  Definición de la derivada parcial de la función z = f(x,y) respecto de y, a  
                                través de la proyección del plano a sobre el plano (z,x).
        5.4.3  Derivadas parciales de cualquier orden.
                   5.4.3.1  Derivadas parciales de primer orden de funciones reales de dos y más
                                variables reales.
                   5.4.3.2  Derivadas parciales sucesivas o de orden superior de funciones reales de 
                                 dos y más variables reales.
        5.4.4  Teorema de Schawarz o de la igualdad de derivadas cruzadas.
        5.4.5  Incremento y diferenciales.
        5.4.6  Regla de la cadena.
5.5  Planos tangentes y aproximaciones lineales (rectas normales a la superficie).
        5.5.1  Derivada de una función compuesta.
        5.5.2  Regla de la cadena.
        5.5.3  Derivadas de funciones implícitas.
                   5.5.3.1  Derivada primera de una función implícita de una variable mediante
                                 derivadas parciales.
                   5.5.3.2  Derivadas parciales primeras de una función implícita de dos variables.
                   5.5.3.3  Derivadas parciales primeras de una función implícita de dos variables, 
                                mediante el uso de fórmulas.
                   5.5.3.4  Derivadas sucesivas de una funcíón implícita de dos variables.
                   5.5.3.5  Derivada de una función implícita.
5.6  Gradiente y derivadas direccionales.
5.7  El diferencial total de funciones reales de dos y más variables reales.
5.8  Máximos y mínimos de funciones reales de dos y más variables.
        5.8.1  Valores extremos.
        5.8.2  Puntos críticos.
        5.8.3  Críterio del Hessiano.
5.9  Multiplicadores de Lagrange.
        5.9.1  Extremos absolutos.
        5.9.2  Aplicaciones.
5.10  Ejercicios resueltos.
5.11  Ejercicios propuestos. 

 
TEMA 6: Funciones compuestas. Funciones implícitas. Funciones homogéneas. 
6.1  Introducción.
6.2  Funciones compuestas.
        6.2.1  Concepto.
6.3  Derivada y diferencial de la función compuesta.
6.4  Derivada segunda y diferencial segunda de una función compuesta.
6.5  Funciones implícitas.
6.6  Derivadas de las funciones implícitas.
6.7  Derivada segunda de las funciones implícitas.
6.8  Sistemas de funciones implícitas.
6.9  Dependencia e independencia funcional. Jacobiano.
6.10  Funciones homogéneas.
6.11  Propiedades de las funciones homogéneas.
6.12  Problemas resueltos.
6.13  Problemas propuestos. 
 
TEMA 7: Extremos relativos y condicionados de funciones de varias variables. 

7.1  Extremos relativos de funciones de varias variables
        7.1.1  Fórmula de Taylor para funciones de varias variables.
        7.1.2  Máximos y mínimos de funciones de varias variables.
        7.1.3  Condiciones necesarias para la existencia de extremos relativos.
        7.1.4  Condición suficiente para la existencia de extremos relativos.
        7.1.5  Extremos de las funciones de n variables.
        7.1.6  Problemas resueltos.
        7.1.7  Problemas propuestos.
7.2  Extremos condicionados de funciones de varias variables.
        7.2.1  Función objetivo de dos variables y una ecuación de ligadura y condición.
        7.2.2  Función objetivo de tres variables y una ecuación de ligadura y condición.
        7.2.3  Función objetivo de tres variables y dos ecuaciones de condición.
        7.2.4  Método de los multiplicadores de Lagrange
        7.2.5  Condiciones suficientes.
        7.2.6  Interpretación gráfica.
        7.2.7  Problemas resueltos.
        7.2.8  Problemas propuestos. 

 
TEMA 8: Integrales múltiples de funciones de varias variable 
8.1  La integral doble.
        8.1.1  Definición.
        8.1.2  Propiedades.
        8.1.3  Cambio de orden de integración.
        8.1.4  Cambio de variables en la integral doble.  
        8.1.5  Integrales iteradas.
        8.1.6  Integrales dobles sobre rectángulos.
        8.1.7  Integrales dobles sobre regiones generales.
        8.1.8  Integrales dobles en coordenadas polares.
        8.1.9  Aplicaciones de la integral doble:
                   8.1.9.1  Cálculo de área.
                   8.1.9.2  Cálculo del Volumen de un sólido.
                   8.1.9.3  Centro de masas, centro de gravedad y momento de inercia de una figura
                                plana.
8.2  Integrales triples.
        8.2.1  Definición.
        8.2.2  Transformaciones en el espacio.
        8.2.3  Cambios de coordenadas.
        8.2.4  Coordenadas esféricas.
        8.2.5  Coordenadas cilíndricas.
        8.2.6  Aplicaciones de la integral triple:
                   8.2.6.1  Cálculo de centrop de gravedad de un sólido.
                   8.6.6.2  Cálculo del Volumen de un sólido.
8.3  Transformaciones.
        8.3.1  Jacobiano de una transformación.
8.4  Problemas resueltos.
8.5  Problemas propuestos.
 
TEMA 9: Cálculo vectorial. 
9.1  Campos vectoriales.
        9.1.1  Gradiente.
        9.1.2  Divergencia y rotacional.
                   9.1.2.1  Teorema de la divergencia de Gauss.  
                   9.1.2.2  Teorema de Stokes.
9.2  Integrales de línea.
        9.2.1  Definición.
        9.2.2  Propiedades.
        9.2.3  Teorema de Green.
        9.2.4  Teorema fundamental de las integrales de línea.
        9.2.5  Cálculo de las integrales de línea.
        9.2.6  Integrales lineales independientes de la trayectoria.
        9.2.7  Aplicaciones.
9.3  Superficies paramétricas y sus áreas.
9.4  Integrales de superficie.
        9.4.1  Definición.
        9.4.2  Propiedades.
        9.4.3  Aplicaciones.
        9.4.4  Vectores unitarios.
        9.4.5  Diferenciales de superficie.
        9.4.6  Integral  de superficie escalar sobre campos vectoriales.
        9.4.7  Integral  de superficie escalar sobre campos escalares.
9.5  Teorema de la divergencia.
        9.5.1  Teorema de la divergencia en el plano.
9.6  Problemas resueltos.
9.7  Problemas propuestos. 
 
TEMA 10: Ecuaciones diferenciales ordinarias. 

10.1  Generalidades sobre las ecuaciones diferenciales ordinarias.
          10.1.1  Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
          10.1.2  Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n.
          10.1.3  Reducción de una Ecuación diferencial ordinaria de orden n a un sistema de
                       primer orden.
          10.1.4  Trayectorias ortogonales y oblicuas.
          10.1.5  Problemas de valor inicial y problemas de contorno.
10.2  El problema de Cauchy.
          10.2.1  El problema de Cauchy.
          10.2.2  Teoremas de existencia y unicidad de solución.
          10.2.3  Soluciones maximales.
          10.2.4  Dependencia continua de la solución con respecto a los datos del problema.
10.3  Resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordeinarias de orden 1.
          10.3.1  Ecuaciones en variables separadas.
          10.3.2  Ecuaciones exactas y factores integrantes.
          10.3.3  Cambio de variable en una ecuación diferencial ordinaria.
          10.3.4  Ecuaciones homogéneas y reducibles a homogéneas.
          10.3.5  Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.
          10.3.6  Ecuaciones implícitas.
10.4  Métodos numéricos para el problema de Cauchy.
          10.4.1  Métodos de un paso:
                       10.4.1.1  Euler y Runge-Kutta.
          10.4.2  Métodos multipaso:
                       10.4.2.1  Adams-Bashforth y Adams-Moulton.
          10.4.3  Métodos de predictor-corrector.    
10.5  Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales de orden superior.
          10.5.1  Resultados básicos.
          10.5.2  Ecuaciones Diferenciales Ordinarias homogéneas y no homogéneas.
          10.5.3  Caso homogéneo:
                       10.5.3.1  Sistema fundamental.
          10.5.4  Caso no homogéneo:
                       10.5.4.1  Métodos de coeficientes indeterminados y de variación de constantes.
          10.5.5  Ecuación de Cauchy-Euler.
          10.5.6  Métodos de series.
10.6  Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
          10.6.1  Generalidades.
          10.6.2  Sistemas lineales:
                       10.6.2.1  Coeficientes constantes.
          10.6.3  Sistemas no lineales:
                       10.6.3.1  Nociones de estabilidad.
10.7  Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales.
          10.7.1  Clasificación.
          10.7.2  Ecuaciones de tipo hiperbólico:
                       10.7.2.1  La ecuación de ondas.
          10.7.3  Ecuaciones de tipo parabólico:
                       10.7.3.1  La ecuación del calor.
          10.7.4  Ecuaciones de tipo elíptico:
                       10.7.4.1  La ecuación de Laplace.
10.8  Problemas resueltos.
10.9  Problemas propuestos. 

 
TEMA 11: Ecuaciones diferenciales de primer orden. 

11.1  Ecuaciones diferenciales.
          11.1.1  Definiciones y terminología.
          11.1.2  Teorema de existencia y uinicidad.
          11.1.3  Ecuación diferencial exacta.
          11.1.4  Variable separable.
          11.1.5  Factor integrante.
          11.1.6  Ecuación diferencial homogénea.
11.2  Ecuaciones diferenciales de primer orden.
11.3  Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
          11.3.1  Definiciones.
          11.3.2  Ecuación diferencial de Bernoulli.
          11.3.3  Ecuación diferencial de Riccati.
          11.3.4  Ecuación de  CLairaut.
          11.3.5  Aplicaciones.
11.4  Ecuaciones reducibles.
11.5  Problemas resueltos.
11.6  Problemas propuestos. 

 
TEMA 12: Ecuaciones diferenciales de orden superior. 

12.1  Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.
          12.1.1  Operadores diferenciales  lineales  de segundo orden.
12.2  Solución  general  de  la  ecuación homogénea.  
          12.2.1  Ecuación característica.
          12.2.2  Caso de raíces  reales  y  diferentes.  
          12.2.3  Caso  de  raíces complejas.
          12.2.4  Caso de raíz doble.
12.3  Ecuaciones lineales no homogéneas.
          12.3.1  Solución relativa al segundo miembro de la ecuación no homogénea:  
                       12.3.1.1  Casos particulares.
                       12.3.1.2  Método  de  variación  de  los  parámetros.  
                       12.3.1.3  Métodos de los coeficientes indeterminados.
                       12.3.1.4  Método  de  variación  de  los  parámetros.
          12.3.2  Solución  completa  de  la  ecuación  no homogénea.
12.4  Ecuaciones  diferenciales  de orden “N”.
          12.4.1  El  operador  “L”.
          12.4.2  Ecuación  de  Euler.
          12.4.3  Utilización de las series de potencias en la resolución de ecuaciones diferenciales.
12.5  Aplicaciones de funciones diferenciales de orden superior.
12.6  Problemas resueltos.
12.7  Problemas propuestos.

 
TEMA 13: Variables complejas. 
13.1  Introducción.
13.2  Funciones analíticas.
          13.2.1  Números complejos.
          13.2.2  Funciones de una variable compleja.
          13.2.3  Límites.
          13.2.4  Continuidad.
          13.2.5  Derivación.
          13.2.6  Ecuaciones de Cauchy-Riemann.
          13.2.6  Funciones analíticas.
          13.2.7  Funciones armónicas.
13.3  Funciones analíticas elementales.
          13.3.1  Función exponencial.
          13.3.2  Funciones trigonométricas.
          13.3.3  Funciones hiperbólicas.
          13.3.4  Función logaritmo y sus determinaciones.
          13.3.5  Exponentes complejos.
          13.3.6  Funciones inversas de las funciones trigonométricas e hiperbólicas.
13.4  Integración en el campo complejo.
          13.4.1  Integral definida de una función compleja de variable real.
          13.4.2  Contornos.
          13.4.3  Integrales curvilíneas.
          13.4.4  Teorema de Cauchy-Goursat para dominios simple y múltiplemente conexos.
          13.4.5  Primitivas e independencia del camino.   
13.5  Fórmula integral de Cauchy.  
          13.5.1  Fórmula integral de Cauchy.
          13.5.2  Derivadas de funciones analíticas.
          13.5.3  Teorema de Morera.
          13.5.4  Principio del módulo máximo.
          13.5.5  Desigualdades de Cauchy.
          13.5.6  Teorema de Liouville.
          13.5.7  Teorema fundamental del Álgebra.
13.6  Residuos y polos.
          13.6.1  Series de Laurent.
          13.6.2  Residuos.
          13.6.3  Teorema de los residuos.
          13.6.4  Clasificación de singularidades.
          13.6.5  Cálculo efectivo de residuos.
          13.6.6  Aplicación al cálculo de integrales reales:  
                       16.6.6.1  Integrales definidas de funciones trigonométricas.
                       16.6.6.2  Integrales reales impropias.
13.7  Aplicación: la transformada en z.
          13.7.1  Definición.
          13.7.2  Cálculo práctico.
          13.7.3  Inversión de la transformada.
          13.7.4  Propiedades.  
13.8  Problemas resueltos.
13.9  Problemas propuestos. 
 
TEMA 14: Transformada de Laplace. 
14.1  Definición.
14.2  Funciones seccionalmente contínuas y de orden exponencial.
14.3  Algunas propiedades importantes de la transformada de Laplace.  
14.4  Funciones especiales y sus transformadas.
14.5  Funciones salto unidad.  
14.6  Función periódica.  
14.7  Función gamma.  
14.8  Función de Bessel.  
14.9  Función Delta de Dirac.  
14.10  Función de error.  
14.11  Métodos para calcular transformadas.  
14.12  Evaluación de Integrales.  
 
TEMA 15: Sucesiones y series infinitas. 
15.1  Sucesiones.
15.2  Series.
15.3  La prueba de la integral y estimaciones de las sumas.
15.4  Pruebas por comparación.
15.5  Series alternantes.
15.6  Convergencia absoluta y la prueba de la razón y la raíz.
15.7  Estrategía para probar series.  
15.8  Series de potencias.
          15.8.1  Radio de convergencia.
          15.8.2  Intervalo de convergencia.
15.9  Representación de las funciones como series de potencias.
15.10  Series de taylor y de Maclaurin.
15.11  Aplicaciones de los polinomios de Taylor.
15.12  Operaciones con series de potencias.
            15.12.1  Suma y resta de series e potencias.
            15.12.2  Diferenciación e Integración de series de potencias.
15.13  Solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden mediante series de potencias.
            15.13.1  Puntos regulares.
            15.13.2  Puntos singulares.
                            15.13.2.1  Ecuación indicial.
                            15.13.2.2  Soluciones de la ecuación indicial.
15.14  Series de números complejos.
15.15  Problemas resueltos.
15.16  Problemas propuestos. 
 
ESTRATEGIAS METODOLOGICAS:
Explicaciones del profesor. Exposición del docente de las diferentes temáticas abordadas. Intercambio de ideas con los estudiantes. Procesamiento de dudas. Presentación de lecturas relacionadas con las temáticas estudiadas. Introducción de ejemplos reales para la resolución de problemas y estudio de casos.
El espacio académico contempla horas de trabajo directo, trabajo colaborativo y trabajo autónomo; las temáticas se desarrollaran por unidades programadas por semana; el trabajo directo se realizará a partir de comunidades de aprendizaje, tutorías y actividades virtuales, que permitan la exposición teórica- práctica del contenido.
La práctica en trabajo colaborativo, será abordada en forma grupal e individual (virtualmente) y se desarrollaran temáticas y/o tratamiento de casos de estudio previamente establecidos por el docente con su apoyo y asesoría respectiva.
Para cada tema, el profesorado hará una exposición teórica de los conceptos fundamentales, haciendo hincapié en aquellos contenidos que se consideren de mayor relevancia. Siempre que sea posible, el profesorado se apoyará en material multimedia o en demostraciones en línea, que faciliten la presentación de los contenidos. Tras la exposición teórica de los conceptos, se introducirán ejemplos o ejercicios prácticos que faciliten al alumnado la adquisición de los conceptos presentados.
Todo el material utilizado por el profesorado durante las clases estará a disposición de los alumnos.
Por cuenta propia, tras cada clase, el alumnado deberá complementar la información aportada por los docentes. La complementación de los materiales utilizados en clase podrá realizarse en base a los materiales y recursos complementarios que el profesorado designe en cada caso. Para facilitar este proceso de auto aprendizaje, el profesorado indicará, tras cada clase, qué actividades, tareas y elementos del material complementario son los que se deben consultar. Además, con el objetivo de complementar la formación con un aprendizaje práctico, el profesorado planteará ejercicios prácticos, que el alumnado tendrá que resolver de forma autónoma. Los ejercicios que mayor dificultad haya presentado a los alumnos serán corregidos en clase mediante la participación activa del alumnado y del profesorado.
Con el objetivo de que el alumnado pueda comprobar la correcta adquisición de los conocimientos, se podrá realizar una o más pruebas de evaluación que incluyan tanto cuestiones de desarrollo de conceptos como ejercicios prácticos. El profesorado corregirá estas pruebas de evaluación con el fin de detectar e informar al alumnado de aquellos temas que deben ser repasados. Además, tras cada uno de los temas que hay dentro de cada bloque, los alumnos podrán realizar una breve prueba de tipo test para verificar que los conceptos más importantes del tema han sido asimilados correctamente. Todo este seguimiento continuo del alumnado será llevado a cabo mediante el aula virtual de la asignatura. 
 
RECURSOS DIDACTICOS:

• Recursos bibliográficos y de web-grafía.
• Foros.
• Debates.
• Charlas.
• Exposiciones.
• Recursos TIC.
• Simposios y ponencias.
• Video-Conferencias.
• Trabajos de investigación.
• Exámenes teóricos-prácticos.
• Casos empresariales.
• Talleres y ejercicios de aplicación práctica (Grupales e individuales, en el aula virtual y extra clase).
• Desarrollo de ejemplos reales.

• Aula virtual.
   La asignatura tendrá un aula en el campus virtual de Virtuniversidad. A través del aula virtual se facilitará material para el seguimiento de la asignatura: guía docente, problemas resueltos y propuestos, enlaces a páginas web, entre otros.; así como la posible realización de diversas actividades no  evaluables para complementar el aprendizaje del  alumno: cuestionarios,  foros,  lecturas, tareas, entre otros. De igual forma, esta plataforma será empleada para la resolución de las dudas y cuestiones que los alumnos quieran plantear.

   De forma general, el aula virtual contendrá, al menos, la información y los elementos siguientes:
• Guía docente de la asignatura (programa, objetivos, metodología, entre otros.)
• Wiki para el desarrollo de un glosario de términos.
• Foro de novedades.
• Foro “cafetería” (para que el alumnado de la asignatura pueda compartir inquietudes relativas a la asignatura)
• Próximos eventos.
• Calendario.

   De forma más específica, el aula virtual se estructurará en bloques y temas, siguiendo el esquema presentado en el programa de la asignatura. Para cada tema de la asignatura, en el aula virtual se incluirán los elementos siguientes:
• Material on-line con la descripción del tema.
• Ejercicios prácticos con distintas modalidades de tareas.
• Foro de debate para plantear y resolver las dudas relacionada con el tema.
• Recursos on-line para apoyo.
• Bibliografía, referencias y enlaces a material complementario.
• Cuestionarios y/o pruebas de evaluación.

 
CRITERIO(S) DE EVALUACIÓN:
 A lo largo del cuatrimestre se realizarán una serie de evaluaciones parciales que buscan medir la apropiación y manejo de las diferentes competencias por parte de los estudiantes, determinando su avance específico en el proceso de aprendizaje y el esfuerzo formativo en su trabajo independiente y en el trabajo desarrollado en el aula virtual.
El sistema de evaluación aplicado en el curso se sustenta en la combinación del trabajo y evaluación continúa dentro y fuera del aula virtual. Es decir, que aunque los conceptos y herramientas se expongan o se trabajen en el interior de la clase, es necesario el auto aprendizaje del estudiante, lo que se expresa en el desarrollo de diferentes actividades, las cuales consisten en trabajos individuales y en grupo, lecturas, proyectos, participaciones en clase y pruebas escritas teórica-práctica, que el profesor juzgue conveniente realizar durante el período lectivo.  
Aquellos alumnos que, no pudiendo acogerse a la evaluación continua y habiéndoseles concedido la evaluación final tras solicitud formal de acuerdo con la Normativa Reguladora de los Procesos de Evaluación de Virtuniversidad, se someterán a un examen final para acreditar que han adquirido la totalidad de las competencias.
Se considerará que un alumno ha superado la asignatura cuando la calificación que obtiene en el sistema de evaluación elegido sea igual o superior a 10. Aquellos alumnos que, habiendo aprobado la asignatura, deseen mejorar su nota, tienen la opción de realizar un trabajo voluntario puntuable por hasta dos puntos a sumar a la nota total de la asignatura.
 
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:
• Ahlfors Lars V. (1995).  Análisis Complejo. Mc Graw-Hill.
• Apostol, T. (1990). Calculus. Vol. I. Ed. Reverté. Barcelona.
• Apostol, T. (1976). Análisis Matemático. Reverté, Barcelona, seg. Edition.
• Apostol, T. (1986). Calculus. Vol II Reverté, Barcelona, seg. Edition. .
• Ayres F. (1969). Ecuaciones diferenciales. Problemas Resueltos. Mc Graw-Hill.
• Blanchard,  P.; Devaney, R. y Hall, G. (1999).Ecuaciones diferenciales. Thomson Editores.
• Bronson, R. (1969). Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Mc Graw-Hill.
• Churchill, R. y Brown, J. (2004). Variable Compleja y Aplicaciones. Mc GrawHill.
• Curtis, P. (1987). Cálculo con una introducción a vectores. Ed. Limusa. México.
• De Burgos, J. (2008). Cálculo Infinitesimal de varias Variables. Mc Graw Hill, seg. Edition.
• Fernández, J. (1992). Análisis Matemático II. (Integración y cálculo exterior). Tecnos.
• Garcia, A.; López, A.;  Rodríguez,  G.; Romero, S. y De la Villa, A.  (2006). Cálculo II: Teoría y Problemas de Funciones de Varias Variables. Segunda edición. Editorial Clagsa.
• Kaplan. (1995). Cálculo y Algebra lineal. Ed. Limusa. México. .
• Larson, R. (1999). Cálculo y Geometría Analítica, Mc Graw Hill, México.
• Ledder, G. (2006). Ecuaciones diferenciales. Mc Graw-Hill.
• Leithold, L. (1986). El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Harla, México.
• López, J. (2001). Ecuaciones Diferenciales y Variable Compleja. Prentice Hall.
• Mardsen, J. y Tromba, A. (1998). Cálculo Vectorial. Pearson.
• Marsden J. E. & Tromba A. J. (2004). Cálculo vectorial, 5ª. edición, Wilmington, Addison-Wesley Iberoamericana.
• Nagle, R.; Saff, E. y Snider, A. (2001). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Addison Wesley (Pearson Ed.).
• Quiroja, A. (2008). Introducción al Cálculo II. Delta Publicaciones, 488 páginas. Madrid- España.
• Salas, S. y Hile, E. (1977). Calculus de una y varias variables con Geometría Analitica Editorial Reverté S. A. España.
• Simmons, G. y Krantz, S. (2007). Ecuaciones Diferenciales. McGraw-Hill.
• Smith, R. y Minton, R. (2002). Cálculo. Volumen I Mc Graw Hill, España.
• Spiegel,  M. (1971). Variable Compleja Problemas Resueltos. Mc Graw-Hill.
• Spivak. (1990).  Calculus. Ed. Reverté. Barcelona.
• Stein. (1994).  Cálculo y Geometría analítica". Ed. Mc Graw-Hill. México.
• Stewart J. (1999). Cálculo multivariable. México, Thomson.
• Swokowsky E. (1989). Cálculo con geometría analítica, 2ª. edición, México, Grupo Editorial Iberoamérica.
• Thomas, G. (2006). Cálculo (2 volúmenes).  11ª  Ed.  Addison Wesley, México.
• Zill, D. (s/f). Cálculo con Geometría Analítica.  Editorial Harla.
• Zill, D. y Cullen, M. (2006). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado.  Thompson. 
 
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